Rock-paper-scissors with a disadvantage

Consider the game of rock-paper-scissors, where in case of a tie the game continues with new throws until a winner is declared. We introduce a variant: one of the two players (“player B”) cannot throw scissors. The question is: how disadvantaged is B?

Notice that:

• if A plays paper, B ties with paper and loses with rock
• if A plays scissors, B loses with paper and wins with rock (the game certainly ends)

If A played rock, B would win with paper and tie with rock, a strictly inconvenient situation for A compared to playing paper.

What follows is that every rational game unfolds like this: a succession of paper-paper ties (possibly empty) followed by one of the following cases:

• A plays paper and B plays rock, A wins
• A plays scissors and B plays paper, A wins
• A plays scissors and B plays rock, B wins

One can essentially think of the game as a succession of paper-paper turns, interrupted at some point by one of the two players. If and only if both interrupt at the same moment, B wins; otherwise A wins.

Equivalently, we can say that A chooses a turn on which to play scissors. If B guesses this turn by playing rock, B wins. Otherwise, if B plays rock too early or plays paper on the turn when A changes symbol, B loses.

The problem therefore turns out to be equivalent to “A chooses a positive integer, B wins if and only if B guesses it”. The question remains: how disadvantaged is B?

A has arbitrarily good strategies: by choosing an ideally large integer N, if A chooses their number (which in the initial problem corresponds to the turn on which to play scissors) randomly with uniform distribution between 1 and N, B’s probability of winning will be at most 1/N. Indeed, it does not matter which strategy B adopts: if B chooses a number <= N, B will have probability 1/N of winning, and with numbers > N B will certainly lose.

On the other hand, A cannot have probability exactly 1 of winning with any strategy. Indeed B can choose their number according to a geometric distribution (for example), which assigns each positive integer a positive probability of being chosen. It does not matter which number A chooses and how: the probability that B guesses it will never be 0.

This should follow from the fact that the positive integers, being countable, do not admit a uniform probability distribution, so “A cannot choose at random”.

So how disadvantaged is B? Very. A has an infinite tower of arbitrarily good strategies. But there is no strategy better than all the others, so B will always have a chance of victory.

Consideriamo il gioco della morra cinese, dove in caso di pareggio la partita prosegue con nuovi lanci finché non viene decretato un vincitore. Introduciamo una variante: uno dei due giocatori (“giocatore B”) non può tirare forbici. La domanda è: quanto è svantaggiato?

Notiamo che:

• se A gioca carta, B pareggia con carta e perde con sasso
• se A gioca forbici, B perde con carta e vince con sasso (la partita finisce sicuramente)

Se A giocasse sasso, B vincerebbe con carta e pareggerebbe con sasso, una situazione strettamente sconveniente per A rispetto il giocare carta.

Quello che segue, è che ogni partita razionale si svolge così: una successione di pareggi carta carta (potenzialmente vuota) seguita da uno dei seguenti due casi:

• A gioca carta e B gioca sasso, A vince
• A gioca forbici e B gioca carta, A vince
• A gioca forbici e B gioca sasso, B vince

Si può sostanzialmente pensare alla partita come a una successione di turni carta-carta, che sarà interrotta a un certo punto da uno dei due giocatori. Se e solo se entrambi interrompono nello stesso momento, vince B, altrimenti vince A.

In maniera equivalente, possiamo dire che A decide un turno in cui giocare forbici. Se B indovina questo turno giocando sasso, vince. Altrimenti, se gioca sasso troppo presto o gioca carta al turno in cui A cambia simbolo, perde.

Il problema si rivela quindi equivalente a “A sceglie un intero positivo, B vince se e solo se lo indovina”. La domanda rimane: quanto è svantaggiato B?

A ha strategie arbitrariamente buone: scegliendo un intero N idealmente grande, se sceglie il suo numero (che corrisponde nel problema iniziale al turno in cui giocare forbici) casualmente con distribuzione uniforme tra 1 e N, la probabilità di vittoria di B sarà al più 1/N. Infatti non importa quale strategia B adotti, se sceglie un numero <= N avrà probabilità 1/N di vincere, e con numeri > N perderà sicuramente.

D’altro canto, A non può avere probabilità pari a 1 di vittoria con alcuna strategia. Infatti B può scegliere il suo numero secondo una distribuzione geometrica (ad esempio), che associa a ciascun intero positivo una probabilità positiva di essere scelto. Non importa quale numero scelga A e come: la probabilità che venga indovinato da B non sarà mai 0.

Questo dovrebbe seguire dal fatto che gli interi positivi, essendo numerabili, non ammettono una distribuzione di probabilità uniforme, quindi “A non può scegliere a caso”.

Quindi, quanto è svantaggiato B? Molto. A ha una torre infinita di strategie arbitrariamente buone. Però non c’è una strategia migliore di tutte le altre, dunque B avrò sempre una chance di vittoria.