A cool formula with primes

Euristica informale

Tra i numeri naturali, metà saranno divisibili per 2. Dell'altra metà, un terzo sarà divisibile per 3. Dei rimanenti, un quinto sarà divisibile per 5, e così via. Aggiungendo tutti i numeri primi, dovremmo ottenere il 100% dei numeri naturali.

1 = 1/2 + (1 - 1/2)(1/3 + (1 - 1/3)(1/5
+ (1 - 1/5)(1/7 + (1 - 1/7)(...))))

Possiamo manipolare algebricamente:

0 = (-1 + 1/2) + (1 - 1/2)(1/3 + (1 - 1/3)(1/5
+ (1 - 1/5)(1/7 + (1 - 1/7)(...))))

0 = (1 - 1/2)((-1 + 1/3) + (1 - 1/3)(1/5
+ (1 - 1/5)(1/7 + (1 - 1/7)(...))))

0 = (1 - 1/2)(1 - 1/3)(1 - 1/5)((-1 + 1/7) + ...)

0 = ∏_{p_i primo} (1 - 1/p_i)

Osserviamo inoltre che, se

∏ (1 - 1/a_n) = 0, con a_n > 1 per ogni n,

allora

∑ 1/a_n -> +∞

(risultato noto). Dunque stiamo anche dimostrando che

∑ 1/p_i -> +∞.

Nota: dimostrare formalmente questa euristica potrebbe richiedere risultati formali tali da annullare completamente l'interesse verso queste osservazioni.

Informal Heuristic

Among the natural numbers, half will be divisible by 2. Of the other half, one third will be divisible by 3. Of what remains, one fifth will be divisible by 5, and so on. If we add all primes, we should cover 100% of the natural numbers.

1 = 1/2 + (1 - 1/2)(1/3 + (1 - 1/3)(1/5
+ (1 - 1/5)(1/7 + (1 - 1/7)(...))))

We can manipulate this algebraically:

We also observe that, if

∏ (1 - 1/a_n) = 0, with a_n > 1 for every n,

then

∑ 1/a_n -> +∞

(a known result). Therefore we are also proving that

∑ 1/p_i -> +∞.

Note: proving this heuristic formally may require formal results so strong that they completely remove the interest of these observations.