Draft December 2021

Teoria del Meta

Una bozza del 2021 su popolazioni di strategie, giochi pesati, sistemi differenziali indotti e operazioni categoriali sui giochi.

Nota editoriale: questo testo nasce come lavoro originale. Retrospettivamente, sembra riscoprire in modo indipendente una parte della teoria oggi riconoscibile come replicator dynamics di Taylor e Jonker, o quantomeno un formalismo molto vicino per giochi evolutivi a somma zero. Il testo conserva lo stato esplorativo della fonte, incluse le domande aperte e i passaggi incerti segnati con (?).

Data originale: dicembre 2021.

PDF originale: Teoria del Meta.pdf

Indice

1. Introduzione
1.1 Motivazione
1.2 Passaggio al continuo
1.3 Formalizzazione
2. Caratteristiche generali
2.1 Esistenza globale e unicità della soluzione
2.2 Conservazione dei giocatori
2.3 Sottogiochi ai bordi
2.4 Punti stazionari non banali
2.5 Giochi speculari
3. Giochi piccoli
3.1 Conversione
3.2 Morra cinese
3.3 Catena di due conversioni
4. Categoria dei Giochi
4.1 Quozienti
4.2 Coprodotti
4.3 Prodotti
5. Lista delle Cose da Fare

1. Introduzione

1.1 Motivazione

Pensiamo alla seguente situazione: molti giocatori giocano ad un gioco, per il quale esistono diverse strategie, ed è determinata la probabilità che una data strategia prevalga su un'altra. Non sono possibili pareggi. I giocatori si sfidano randomicamente a coppie, e un giocatore sconfitto comincerà ad utilizzare la strategia contro cui ha perso. Il nostro obiettivo è modellizzare questo problema, e investigare questioni riguardo l'evoluzione del numero di giocatori che adottano ciascuna strategia.

Un gioco può essere rappresentato da un grafo orientato pesato: i vertici rappresentano le strategie, e sugli archi orientati indichiamo la probabilità che la strategia entrante vinca su quella uscente. Per ogni coppia di vertici indichiamo solo il lato uscente dalla strategia vincente, non indichiamo la probabilità qualora questa sia 1, e non mettiamo alcun arco qualora la probabilità sia 0.5. La probabilità che una strategia ha di vincere su sé stessa dovrebbe essere 0.5, in quanto per ogni coppia di sfidanti che usano la medesima strategia si ha un vincitore e un perdente, per cui non indichiamo lati che entrano ed escono dallo stesso vertice. Utilizziamo le lettere x, y, z, indicanti il nome di una strategia, anche per indicare la proporzione di giocatori che la utilizzano.

Un'idea sensata per creare un modello discreto è far evolvere il sistema scegliendo casualmente una coppia di giocatori che si sfidano. Per arrivare agilmente ad ottenere un modello continuo, adottiamo invece un modello discreto in cui tutti i giocatori vengono accoppiati come sfidanti contemporaneamente.

Consideriamo il gioco di esempio riportato nel testo originale, con strategie x, y, z. Assumendo un grande numero N pari di giocatori, è ragionevole (?) pensare che, accoppiandoli randomicamente come sfidanti, la probabilità che in una sfida le strategie adoperate siano s_i ed s_j diverse sia approssimata bene da 2s_i s_j.

Consideriamo le sfide che coinvolgono la coppia di strategie xy: queste saranno in numero 2xyN, di cui 0.7 · 2xyN vinte dal giocatore di x, e 0.3 · 2xyN dal giocatore di y. Quindi si avrà un aumento di (0.7 - 0.3) · 2xyN giocatori di x, cioè un aumento relativo di (0.7 - 0.3)2xy. Similmente, per la coppia xz, si avrà una perdita relativa di (0 - 1)2xz giocatori di x. Le sfide del tipo xx non modificano i giocatori di x.

In generale, in un gioco con insieme delle strategie S, risulta che i giocatori di x ∈ S subiranno un cambiamento relativo di

2 · (∑_s∈S (2p_xs - 1)s) · x,

con p_xs probabilità che x vinca su s.

Notiamo che il numero 2p - 1 è pari ad 1 per p = 1, a 0 per p = 0.5, a -1 per p = 0.

1.2 Passaggio al continuo

Consideriamo un gioco con insieme delle strategie S. Vogliamo ora pensare al cambiamento del numero di giocatori che adottano ciascuna strategia come un problema continuo, in cui il cambiamento relativo

2 · (∑_s∈S (2p_xs - 1)s) · x

indica la derivata di x, e ∑_s∈S s = 1. D'ora in poi ignoriamo il fattore 2 davanti alla prima sommatoria; la soluzione avrà le stesse orbite, percorse a velocità dimezzata.

Sia p_ij la probabilità che si vinca su s_j, sia s = (s_n) il vettore dei giocatori che adottano ciascuna strategia. Si considera la matrice A = (a_ij), con a_ij = 2p_ij - 1. Notiamo che A è una matrice antisimmetrica, con entrate reali comprese tra -1 e 1. Vale allora che (As)_i = ∑_j(2p_ij - 1)s_j. L'evoluzione dei giocatori segue quindi il sistema differenziale:

s′ = (As) ⊙ s,

dove ⊙ indica il prodotto componente per componente.

Siamo quindi interessati a studiare sistemi differenziali del tipo s′ = (As) ⊙ s, con A matrice antisimmetrica con entrate reali comprese tra -1 e 1, e condizioni iniziali s_i ≥ 0, ∑ s_i = 1.

Questo tipo di sistema è un caso particolare dei sistemi di Lotka-Volterra generalizzati.

1.3 Formalizzazione

Definizione 1.3.1. Un gioco è un grafo finito pesato orientato, in cui ogni coppia di vertici è unita da esattamente due archi di orientazione diversa, con pesi p e 1 - p, dove p ∈ [0,1], e p = 0.5 se i vertici coincidono. I vertici del grafo sono anche chiamati strategie, e il peso dell'arco uscente dal vertice i ed entrante in j è detto probabilità di vittoria di i su j, ed è indicato con p_ij.

Nota 1.3.1. Solitamente, disegneremo un gioco ignorando gli archi con peso p ≤ 0.5. Chiameremo anche frecce gli archi orientati, e potremo dire invertire una freccia per indicare l'operazione di scambiare i pesi nella coppia di archi che unisce due strategie.

Definizione 1.3.2. Dato un gioco X con insieme delle strategie S ordinato, chiamiamo matrice associata a X la matrice A_X = (a_ij), a_ij = 2p_ij - 1, i,j ∈ S.

Osservazione 1.3.1. La matrice associata ad un gioco è antisimmetrica.

Dimostrazione.

a_ij = 2p_ij - 1
= 2(1 - p_ji) - 1
= 2 - 2p_ji - 1
= -(2p_ji - 1)
= -a_ji.

Osservazione 1.3.2. La matrice associata ad un gioco ha entrate comprese tra -1 e 1.

Osservazione 1.3.3. Sostituendo con degli 1 le entrate non nulle della matrice associata ad un gioco, si ottiene la matrice di adiacenza del gioco qualora fossero eliminate le frecce con peso 0.5.

Definizione 1.3.3. Dato un gioco X con insieme delle strategie S ordinato, e un vettore di funzioni incognite s = (s_i(t)), i ∈ S, chiamiamo sistema associato a X il sistema di equazioni differenziali

s′ = (A_X s) ⊙ s,

dove il simbolo ⊙ indica il prodotto componente per componente. Delle condizioni iniziali per il sistema sono dette standard se sono del tipo s_i(0) = α_i, 0 ≤ α_i ≤ 1, ∑_i∈S α_i = 1. La funzione x_i(t) che risolve il sistema date condizioni iniziali standard indica i giocatori della strategia i al momento t.

2. Caratteristiche generali

2.1 Esistenza globale e unicità della soluzione

Osserviamo che il sistema associato ad un gioco è autonomo, per cui per soddisfare le ipotesi del teorema di Picard-Lindelöf e dimostrare l'esistenza e l'unicità locale della soluzione è sufficiente verificare la locale Lipshitzianeitá rispetto alle funzioni incognite.

Notiamo che le equazioni sono polinomi di secondo grado omogenei nelle funzioni incognite, dunque sono differenziabili e in particolare localmente Lipshitz.

Dimostreremo in seguito che la soluzione è sempre contenuta in un simplesso nello spazio delle configurazioni, prima per condizioni iniziali standard, poi in generale; da cui per il principio di fuga dai compatti segue l'esistenza globale della soluzione. In alternativa, utilizzando i risultati del prossimo paragrafo, è una semplice osservazione verificare che le derivate siano limitate.

2.2 Conservazione dei giocatori

Teorema 2.2.1. Dato un gioco X con strategie S, il numero di giocatori rimane costante nel tempo, cioè per il sistema associato vale che ∑_s∈S s(t) è costante.

Dimostrazione.

∂_t ∑ s_i = ∑ ∂s_i
= ∑_righe (As ⊙ s)_i
= s^TAs = 0,

dove l'ultima eguaglianza segue perché A è antisimmetrica.

Questo è in accordo con la nostra intuizione, in quanto si sta modellizzando il cambiamento di strategia da parte di un fissato numero di giocatori.

Dimostreremo nel successivo paragrafo che se si inizia con un numero positivo di giocatori per ogni strategia, nessuna raggiungerà mai un numero negativo di giocatori.

Da questo, ricordando che l'n-simplesso standard è definito come la combinazione convessa dei vettori della base canonica in Rⁿ, e rappresenta la regione di coordinate positive che sommano ad 1, si ottiene il risultato:

Osservazione 2.2.1. Lo stato di un sistema associato ad un gioco con n strategie nello spazio delle configurazioni rimane all'interno dell'n-simplesso standard.

Osservazione 2.2.2. Le coordinate nello spazio delle fasi si possono interpretare come coordinate baricentriche, in maniera che il moto nel simplesso standard si possa vedere all'interno di un simplesso descritto dal gioco.

Riscalando delle condizioni iniziali rendendole a somma diversa da 1, per via dell'omogeneità delle equazioni, anche le derivate vengono riscalate. Per cui si presentano orbite analoghe, percorse a velocità diversa su un simplesso più grande sul quale vengono proiettate (?).

2.3 Sottogiochi ai bordi

Definizione 2.3.1. Dato un gioco X, un sottogioco è un gioco ottenuto eliminando da X alcune strategie, e le frecce entranti e uscenti da esse.

Supponiamo di avere delle condizioni iniziali in cui ci sono strategie non adottate da alcun giocatore. L'intuizione ci direbbe che alcun giocatore si convertirebbe mai a tali strategie, in quanto nessuno può perdervi contro, né queste possono cedere giocatori ad altre, quindi la presenza di strategie non adottate è del tutto indifferente per lo spostamento dei giocatori, e dunque si può passare al sottogioco in cui esse sono totalmente assenti.

Nel nostro formalismo, quest'idea corrisponde al seguente risultato:

Teorema 2.3.1. Dato un sistema associato a un gioco con condizioni iniziali standard, se s_i = 0, allora s_i(t) = 0 per ogni t. Inoltre, le altre strategie si evolvono come nel sottogioco in cui la strategia s_i è assente.

Dimostrazione. Se s_i = 0, a causa del prodotto componente per componente ⊙s, anche ∂_ts_i = 0, dunque s_i(t) = 0 per ogni t. Come conseguenza, l'i-esimo addendo di ogni componente di Ps, che rappresenta il contributo di s_i a s′, sarà nullo per ogni t. Ignorando la riga e gli addendi nulli, si ottiene il sistema associato al sottogioco con s_i rimossa.

Osservazione 2.3.1. Se molteplici condizioni iniziali sono nulle, si passa al sottogioco dove tutte le corrispettive strategie sono state rimosse.

Osservazione 2.3.2. La porzione del simplesso standard dove alcune coordinate si impongono nulle, è il sottosimplesso dato dalla combinazione convessa dei vettori canonici relativi alle coordinate non annullate. Per cui il sistema associato ad un sottogioco descrive il moto nel relativo sottosimplesso generato dalle strategie non nulle.

Osservazione 2.3.3. L'evoluzione del sistema è legata unicamente a come si evolve sui lati 1-dimensionali del simplesso standard, in quanto a ciascuno di essi corrisponde il peso degli archi in una coppia di strategie, e conoscendo i pesi per ogni coppia si ricostruisce tutto il gioco. Dimostreremo in seguito che pesi diversi tra due strategie danno luogo ad un comportamento diverso sul rispettivo lato.

Osservazione 2.3.4. Il sistema di un gioco con una sola strategia ha soluzioni costanti. Per cui, i sottogiochi con una sola strategia individuano punti stazionari del sistema associato a un gioco, cioè gli assi nello spazio delle configurazioni. Con condizioni iniziali standard, questo ci dice che i vertici del simplesso standard sono punti stazionari del sistema.

Dimostriamo finalmente il seguente:

Teorema 2.3.2. Il numero di giocatori per strategia in un sistema associato a un gioco con condizioni iniziali standard rimane positivo per ogni t > 0.

Dimostrazione. Una componente positiva della soluzione, per diventare negativa, deve essere nulla per qualche t. Se diventasse nulla, il sistema inizierebbe a comportarsi come un sottogioco, in cui varia solo il numero di giocatori delle altre strategie: infatti, si avrebbe s′_i = 0, quindi si rimarrebbe 0. Si itera il ragionamento scendendo sempre a sottocomplessi di dimensione inferiore, cioè annullando sempre più componenti della soluzione, finché non sono tutte nulle tranne una: ma in questo caso ci troveremmo in un vertice, che è un punto stazionario.

Possiamo in realtà migliorare il risultato, dimostrando che partendo dalla parte interna di un simplesso, non si raggiungono mai i bordi. Verifichiamo il seguente:

Lemma 2.3.1. Invertendo il tempo in una soluzione del sistema associato a un gioco X, si ottiene una soluzione del sistema associato al gioco ottenuto invertendo tutte le frecce di X.

Dimostrazione. Invertire il tempo è equivalente a cambiare segno alle derivate, che è equivalente a cambiare segno alla matrice antisimmetrica associata, o equivalentemente a trasporla, dunque è equivalente a invertire le frecce del gioco.

Da questo segue che, dato un sistema con condizioni iniziali standard, ogni sottosimplesso è invariante sia in avanti che indietro nel tempo. Come conseguenza, il moto nello spazio delle configurazioni con condizioni iniziali standard non raggiunge mai i bordi del sottosimplesso standard in cui parte.

2.4 Punti stazionari non banali

Siamo interessati a trovare punti stazionari con coordinate positive con somma 1, in quanto sono possibili condizioni iniziali standard del sistema. Ci chiediamo in generale chi siano i punti stazionari del sistema s′ = Ps ⊙ s.

Definizione 2.4.1. Chiamiamo banali i punti stazionari del sistema associato a un gioco che hanno almeno una coordinata nulla.

Consideriamo s configurazione con tutte le entrate non nulle, cioè s si trova nella parte interna del simplesso standard. s sarà un punto stazionario del sistema solo se lo è per il sistema lineare s′ = Ps: infatti, il prodotto componente per componente per numeri non nulli non può azzerare alcuna entrata non nulla altrimenti. Quindi, un elemento con entrate positive del nucleo della matrice associata ad un gioco corrisponde a un punto stazionario non banale.

Considerando invece s con almeno una entrata nulla, il problema si riduce a cercare i punti stazionari del rispettivo sottogioco.

2.5 Giochi speculari

Potremmo chiederci come si comporta un sistema con condizioni iniziali non tutte positive. Ci viene in aiuto la seguente:

Osservazione 2.5.1. Cambiare segno al numero di giocatori che adottano una strategia, ammettendo quindi valori negativi, è equivalente a cambiare segno alle entrate nella rispettiva riga e colonna della matrice antisimmetrica del sistema, il che è equivalente a invertire tutte le frecce entranti e uscenti da tale strategia mantenendo positivo il numero di giocatori che la adottano.

Come conseguenza, l'evoluzione del sistema con condizioni iniziali non tutte positive è analoga all'evoluzione del sistema associato ad un altro gioco ottenuto invertendo le opportune frecce, con condizioni iniziali non negative.

L'osservazione suggerisce un'azione da (Z/2)^n all'insieme dei giochi con n strategie ordinate, dove l'i-esimo generatore canonico inverte tutte le frecce uscenti o entranti dalla i-esima strategia.

Definizione 2.5.1. Chiamiamo speculari i giochi facenti parte di una stessa orbita di questa azione.

Un'orbita di questa azione contiene al più 2^n - 1 giochi differenti, in quanto risulta che due elementi che differiscono di (1,1,...,1) agiscono nello stesso modo.

Per questo, trovare un elemento del nucleo di una matrice antisimmetrica con entrate non nulle, significa trovare un punto stazionario non banale in un gioco speculare a quello a cui è associata la matrice.

Come conseguenza delle osservazioni fatte, si ha che il comportamento di un sistema globale è determinato dal suo comportamento, e dal comportamento di sistemi di giochi speculari, in condizioni standard.

3. Giochi piccoli

3.1 Conversione

Il gioco non banale più semplice è composto da due strategie, in cui una vince sull'altra con probabilità 0.5 < p < 1.

A tale gioco, chiamando α = 2p - 1 > 0, è associato il sistema

x′ = αxy
y′ = -αxy.

Utilizzando y = 1 - x, si ottiene x′(t) = αx(1 - x), la cui soluzione è una curva logistica:

x(t) = 1 / (1 + (1/x₀ - 1)e^-αt).

Il caso x(0) = 0 è da fare a parte, si ottiene x(t) = 0. y si trova come 1 - x.

La crescita di x soddisfa l'intuizione derivante dall'interpretazione probabilistica: è lenta per x piccolo, poiché ciò significa che pochi giocatori di y vengono sfidati e convertiti; è massima quando si hanno tanti giocatori di x quanti di y, per cui è massima la probabilità di un incontro tra le due strategie, e diventa nuovamente piccola quando i giocatori di y iniziano a scarseggiare.

Gli unici punti stazionari sono quindi i vertici del simplesso standard, corrispondenti a sottogiochi con una sola strategia. Uno è stabile asintoticamente, l'altro è instabile.

3.2 Morra cinese

La morra cinese è il gioco con tre strategie che si battono ciclicamente.

A tale gioco è associato il sistema differenziale:

[x′, y′, z′]^T
= [[0, 1, -1], [-1, 0, 1], [1, -1, 0]] · [x, y, z]^T ⊙ [x, y, z]^T.

Questo ammette un punto stazionario interno al simplesso standard, ossia (1/3, 1/3, 1/3), che appartiene al nucleo della matrice antisimmetrica. Questo corrisponde alla configurazione in cui ogni strategia ha lo stesso numero di giocatori; dalla simmetria delle frecce è intuitivo che non ci si possa muovere in alcuna direzione particolare. I sottosimplessi corrispondono a conversioni, i cui punti stazionari sono i vertici del simplesso standard, i quali sono instabili per il sistema complessivo.

Vediamo adesso come si possono sfruttare alcune simmetrie per dimostrare che le orbite interne al simplesso standard sono chiuse. Utilizziamo che il comportamento del sistema si comporta bene (?) rispetto a permutazioni cicliche delle strategie, e che sotto inversione temporale si ha ancora una morra cinese, con le relazioni di vittoria invertite. Mettiamoci in condizioni standard con y > x = z e y ≠ 1, da cui x′ > 0, y′ < 0, z′ < 0. Lo stato del sistema si evolve fino ad avere y = x in tempo finito; infatti vale x′ = x(y - z), ma x cresce, e y - z non può scendere sotto l'iniziale valore di x - z senza che si abbia x = y. La stessa traiettoria si ripete permutando ciclicamente le coordinate, cioè ruotando il simplesso di 1/3 di giro.

Ci chiediamo adesso cosa succede con le stesse condizioni di partenza ma tempo invertito: il sistema si comporta come se le frecce fossero invertite, cioè come in una morra cinese con x e z scambiati, per cui si presenta lo stesso comportamento e questo fa concludere che le orbite siano chiuse. Il punto stazionario al centro è quindi stabile, ma non asintoticamente.

Come variante alla morra cinese, si può associare alle frecce una probabilità di vittoria 0.5 < p_i < 1. La matrice antisimmetrica associata al sistema è del tipo

[[0, a, -b], [-a, 0, c], [b, -c, 0]],

con a,b,c > 0 nelle ipotesi date su p_i. Questi giochi ammettono come punto stazionario non banale

(1 / √(a² + b² + c²)) · [c, b, a]^T.

Test numerici suggeriscono ancora orbite chiuse (?).

3.3 Catena di due conversioni

Una catena di due conversioni è il gioco rappresentato nel testo originale. Scrivendo la y come 1 - x - z, il sistema associato diventa

x′ = a x(1 - x - z)
z′ = -b z(1 - x - z).

Possiamo trovare le traiettorie come

dz/dx = -(b/a)(z/x).

Si ricava facilmente separando le variabili l'integrale primo E = (b/a)log x + log z, assumendo x ≠ 0, z ≠ 0; da cui segue che anche la funzione x^b/a · z rimane costante.

Questo suggerisce che è impossibile che tutti i giocatori tendano a spostarsi verso x, ma che si converga ad uno stato in cui y = 0 e x^b/a · z = 1, che dipende dalle condizioni iniziali. (?)

4. Categoria dei Giochi

Vogliamo costruire un'opportuna categoria dei giochi, e investigare l'esistenza e le proprietà di prodotti e coprodotti. Al fine di trovare una opportuna definizione per i morfismi, è utile chiedersi quale dovrebbe essere un quoziente di un gioco.

4.1 Quozienti

Immaginiamo di avere un gioco con strategie S, e di avere un sottoinsieme V ⊆ S di strategie con la proprietà che, al variare delle strategie v ∈ V, p_sv rimane invariato per ogni s ∈ S \ V. Intuitivamente, questo significa che dal punto di vista dei giocatori di una strategia s ∈ S\V, le strategie in V sono indistinguibili, e per l'evoluzione di S non conta come i giocatori siano distribuiti all'interno delle strategie in V, ma solo quanti siano complessivamente. Questo ci suggerisce la possibilità di semplificare il gioco per studiare più agilmente l'evoluzione delle strategie in S \ V trattando l'insieme V come un'unica strategia. Chiamiamo questa operazione quoziente. Con l'idea generale che le giuste mappe tra oggetti sono quelle le cui immagini sono quozienti, diamo la seguente:

Definizione 4.1.1. Una mappa tra due giochi X e Y è una funzione tra i loro insiemi di strategie

f : S_X -> S_Y

tale che, per ogni {x_1,...,x_k} = f^-1(y) con y ∈ S_Y, vale

p_xx1 = p_xx2 = ... = p_xxk = p_f(x)y

per ogni x ∈ S_X \ f^-1{y}. Se f è surgettiva, la chiamiamo mappa a quoziente e diciamo che Y è un quoziente di X.

Dal punto di vista del sistema, chiamando Q = {x_1,...,x_k} significa che in tutte le righe associate alla derivata di una strategia non in Q si può raccogliere il coefficiente comune alle {x_1,...,x_k}, ed eliminare le righe delle strategie in Q sostituendole con quella associata alla derivata di x_1 + x_2 + ... + x_k, ottenendo il sistema del gioco quoziente. (?)

Vediamo un esempio di applicazione dei quozienti:

Esempio 4.1.1. Morra cinese truccata. Chiamiamo morra cinese truccata il gioco rappresentato nel testo originale. Il sistema associato è complicato a prima vista, ma possiamo semplificarlo andando a quozientare le strategie x ed y in un'unica strategia x + y.

Questa è semplicemente una conversione, che abbiamo già risolto. Quindi, sebbene sia difficile capire come si evolvano x, y e z, possiamo studiare semplicemente come si evolvono y, ed x + z.

Definizione 4.1.2. Chiamiamo GAME la categoria le cui immagini sono giochi, e i morfismi mappe di giochi.

Osservazione 4.1.1. I giochi composti da una sola strategia sono isomorfi, e costituiscono l'oggetto finale della categoria. L'oggetto iniziale vorrebbe essere il gioco vuoto, ma è sensato chiedere che ci sia almeno una strategia.

4.2 Coprodotti

Risulta che i coprodotti esistono sempre, e sono banalmente le unioni disgiunte di giochi. Vediamo quindi come si comportano i giochi con componenti sconnesse.

Sia X un gioco sconnesso, enumeriamo le strategie in modo da mettere vicine le strategie di una componente connessa. La matrice associata al gioco, come la sua matrice di aderenza, è diagonale a blocchi, uno per ogni componente. Di conseguenza nel sistema associato le equazioni si spaiano, e si ottengono dei sistemi indipendenti tra loro, uno per componente.

Questo rappresenta il fatto che giocatori di strategie in diverse componenti connesse non si scambiano giocatori, e quindi si può pensare il problema separandolo per ciascuna componente connessa. La possibilità di pattare tra giocatori di strategie in componenti connesse diverse tuttavia rallenta l'evoluzione di giocatori all'interno di una componente; questo effetto è legato al fatto che i giocatori di una sottocomponente possono non sommare a 1, e abbiamo già osservato che questo si traduce nella percorrenza più lenta di orbite analoghe a quelle che si avrebbero se sommassero ad 1.

Osservazione 4.2.1. Una componente connessa si può sempre quozientare. È evidente (?) che un punto è stazionario solo se lo è quando ristretto ad una data componente connessa, e che vale anche il viceversa, da cui segue (?) che i punti stazionari sono le combinazioni convesse dei punti stazionari di componenti sconnesse.

È semplice vedere che l'unione disgiunta di giochi verifica la proprietà universale del coprodotto. (?)

4.3 Prodotti

Per costruire il prodotto di giochi, cercheremo di invertire il quoziente. Mentre quozientando si collassano più strategie ad una sola, vogliamo un'operazione che sostituisce ad una strategia un intero gioco, ed aggiunga le frecce mancanti. Chiameremo tale operazione prodotto esplosione. Questa può non essere commutativa, ma nel caso lo fosse, coinciderà con il prodotto (?).

Definizione 4.3.1. Dati X, Y giochi, definiamo l'esplosione di X su Y, indicata con X ⋉ Y, il gioco ottenuto con il seguente procedimento: sia S l'insieme delle strategie di Y, si considera una copia di X per ogni strategia di Y, e si collega ciascuna strategia della copia i con un arco uscente di peso p_ij a ciascuna strategia della copia j, per ogni i,j ∈ S.

Più formalmente, stiamo ottenendo un gioco le cui strategie sono le coppie (x,y), x ∈ S_X, y ∈ S_Y, con

p_{(x1,y0)(x2,y0)} = p_x1x2,
p_{(x1,y1)(x2,y2)} = p_{(x0,y1)(x0,y2)} = p_y1y2.

Possiamo definire similmente (?) l'esplosione di X solo su un insieme ristretto di strategie di Y, inclusa una sola. L'esplosione su una strategia sola inverte l'operazione di quoziente. (?).

Diciamo che l'esplosione di X su Y commuta se è isomorfa all'esplosione di Y su X.

Nota 4.3.1. Per convenienza, potremo rappresentare l'esplosione X ⋉ Y disegnando una sola freccia tra le copie di X.

Osserviamo che quozientando per ciascuna copia di X si ottiene Y.

Un caso importante in cui l'esplosione è commutativa è quando i due giochi moltiplicati coincidono, cioè nel caso dei quadrati.

Un punto stazionario di X ⋉ Y deve innanzitutto essere un punto stazionario dell'Y quoziente, e inoltre deve essere stazionario se ristretto ad ogni copia di X. In questo modo non si hanno flussi di giocatori né tra diverse copie di X, né all'interno delle copie, per cui la condizione è anche sufficiente. Per ottenere un punto stazionario non banale in una esplosione quindi, prima si distribuiscono i giocatori tra le copie di X in modo da non avere flussi tra esse e dando giocatori a ciascuna, e poi si distribuiscono questi all'interno di ciascuna copia in modo che costituiscano un punto stazionario non banale per essa.

Nei casi in cui l'esplosione X ⋉ Y è commutativa, si avrebbero X e Y come quozienti, e verosimilmente l'esplosione è il prodotto (?).

5. Lista delle Cose da Fare

Investigare se i giochi con gli archi con peso 1 si comportano come quelli con gli stessi archi orientati ma probabilità più piccole, e cosa succede cambiando in modo continuo i pesi.
Investigare gli elementi del nucleo di matrici antisimmetriche con entrate diverse da 0, discutere della teoria spettrale e dello pfaffiano.
Investigare domande combinatoriche del tipo quante classi di giochi speculari esistono.
Cercare informazioni utili in letteratura sulle equazioni di Lotka-Volterra generalizzate.
Migliorare il capitolo sulla categoria delle categorie, cercare un legame con la teoria dell'omotopia.
Cercare quantità conservate o Lagrangiane e dimostrare la presenza di orbite chiuse in alcuni giochi.
Investigare il legame tra comportamento del sistema dei bordi di un simplesso e nel simplesso.
Linearizzare il sistema di alcuni giochi per studiare i punti stazionari.
Investigare il legame tra le orbite di un sistema e del suo lineare associato.
Investigare la relazione con le catene di Markov.
Studiare ulteriori giochi piccoli, cercando ulteriori soluzioni analitiche, o introducendo una analisi numerica.
Dimostrare come le composizioni di frecce si legano alle derivate successive, e dare un'interpretazione probabilistica.
Vedere il caso continuo come limite probabilistico del caso discreto.
Trovare situazioni reali ben modellizzate dalla teoria.
Strutturare bene l'articolo, aggiungere i riferimenti.
Risolvere o spiegare meglio le questioni accompagnate da (?).

Editorial note: this text began as original work. In retrospect, it appears to independently rediscover part of the theory now recognizable as the replicator dynamics of Taylor and Jonker, or at least a closely related zero-sum evolutionary-game formalism. The rendering below preserves the exploratory status of the source text, including open questions and uncertain passages marked with (?).

Original date: December 2021.

Original PDF: Teoria del Meta.pdf

1. Introduction
1.1 Motivation
1.2 Passage to the continuous model
1.3 Formalization
2. General characteristics
2.1 Global existence and uniqueness of the solution
2.2 Conservation of players
2.3 Subgames at the boundary
2.4 Nontrivial stationary points
2.5 Mirror games
3. Small games
3.1 Conversion
3.2 Rock-paper-scissors
3.3 Chain of two conversions
4. Category of Games
4.1 Quotients
4.2 Coproducts
4.3 Products
5. To-do list

1. Introduction

1.1 Motivation

Think of the following situation: many players play a game for which several strategies exist, and the probability that a given strategy prevails over another is determined. Draws are not possible. Players challenge one another randomly in pairs, and a defeated player begins to use the strategy against which they lost. Our goal is to model this problem and investigate questions about the evolution of the number of players adopting each strategy.

A game can be represented by a weighted directed graph. The vertices represent strategies, and on directed edges we indicate the probability that the incoming strategy wins over the outgoing one. For each pair of vertices we indicate only the edge leaving the winning strategy; we do not indicate the probability when it is 1, and we do not put any edge when the probability is 0.5. The probability that a strategy has of winning against itself should be 0.5, since for every pair of challengers using the same strategy there is one winner and one loser; therefore we do not indicate edges entering and leaving the same vertex. We use the letters x, y, z, and so on, denoting the name of a strategy, also to indicate the proportion of players using it.

A sensible idea for creating a discrete model is to make the system evolve by randomly choosing a pair of players who challenge each other. To obtain a continuous model more easily, we instead adopt a discrete model in which all players are paired as challengers at the same time.

Consider the example game reported in the original draft, with strategies x, y, z. Assuming a large even number N of players, it is reasonable (?) to think that, by pairing them randomly as challengers, the probability that in a challenge the strategies used are two distinct strategies s_i and s_j is well approximated by 2s_i s_j.

Consider the challenges involving the pair of strategies xy: these will be 2xyN in number, of which 0.7 · 2xyN are won by the player using x, and 0.3 · 2xyN by the player using y. Therefore there will be an increase of (0.7 - 0.3) · 2xyN players using x, that is, a relative increase of (0.7 - 0.3)2xy. Similarly, for the pair xz, there will be a relative loss of (0 - 1)2xz players using x. Challenges of type xx do not modify the number of players using x.

In general, in a game with set of strategies S, the players using x ∈ S undergo a relative change of

2 · (∑_s∈S (2p_xs - 1)s) · x,

where p_xs is the probability that x wins against s.

Notice that the number 2p - 1 is equal to 1 for p = 1, to 0 for p = 0.5, and to -1 for p = 0.

1.2 Passage to the Continuous Model

Consider a game with set of strategies S. We now want to think of the change in the number of players adopting each strategy as a continuous problem, in which the relative change

2 · (∑_s∈S (2p_xs - 1)s) · x

indicates the derivative of x, and ∑_s∈S s = 1. From now on, we ignore the factor 2 in front of the first summation; the solution will have the same orbits, traveled at half speed.

Let p_ij be the probability of winning against s_j, and let s = (s_n) be the vector of players adopting each strategy. Consider the matrix A = (a_ij), with a_ij = 2p_ij - 1. Notice that A is a skew-symmetric matrix, with real entries between -1 and 1. Then (As)_i = ∑_j(2p_ij - 1)s_j. The evolution of the players therefore follows the differential system

s′ = (As) ⊙ s,

where ⊙ indicates componentwise multiplication.

We are therefore interested in studying differential systems of the type s′ = (As) ⊙ s, with A a skew-symmetric matrix with real entries between -1 and 1, and initial conditions s_i ≥ 0, ∑ s_i = 1.

This type of system is a special case of generalized Lotka-Volterra systems.

1.3 Formalization

Definition 1.3.1. A game is a finite weighted directed graph in which every pair of vertices is joined by exactly two edges with opposite orientations, with weights p and 1 - p, where p ∈ [0,1], and p = 0.5 if the vertices coincide. The vertices of the graph are also called strategies, and the weight of the edge leaving vertex i and entering j is called the probability of victory of i against j, denoted p_ij.

Note 1.3.1. Usually, we will draw a game while ignoring edges with weight p ≤ 0.5. We will also call directed edges arrows, and we may say invert an arrow to indicate the operation of swapping the weights in the pair of edges joining two strategies.

Definition 1.3.2. Given a game X with ordered set of strategies S, we call the matrix associated with X the matrix A_X = (a_ij), a_ij = 2p_ij - 1, i,j ∈ S.

Observation 1.3.1. The matrix associated with a game is skew-symmetric.

Proof.

a_ij = 2p_ij - 1
= 2(1 - p_ji) - 1
= 2 - 2p_ji - 1
= -(2p_ji - 1)
= -a_ji.

Observation 1.3.2. The matrix associated with a game has entries between -1 and 1.

Observation 1.3.3. Replacing the nonzero entries of the matrix associated with a game by 1 gives the adjacency matrix of the game, if the arrows with weight 0.5 were removed.

Definition 1.3.3. Given a game X with ordered set of strategies S, and a vector of unknown functions s = (s_i(t)), i ∈ S, we call the system associated with X the system of differential equations

s′ = (A_X s) ⊙ s,

where the symbol ⊙ indicates componentwise multiplication. Initial conditions for the system are called standard if they are of the type s_i(0) = α_i, 0 ≤ α_i ≤ 1, ∑_i∈S α_i = 1. The function x_i(t) solving the system with standard initial conditions indicates the players using strategy i at time t.

2. General Characteristics

2.1 Global Existence and Uniqueness of the Solution

Observe that the system associated with a game is autonomous; therefore, to satisfy the hypotheses of the Picard-Lindelöf theorem and prove local existence and uniqueness of the solution, it is enough to verify local Lipschitzness with respect to the unknown functions.

Notice that the equations are homogeneous polynomials of degree two in the unknown functions, hence differentiable and in particular locally Lipschitz.

We will later prove that the solution is always contained in a simplex in the configuration space, first for standard initial conditions and then in general; by the principle of escape from compact sets, global existence of the solution follows. Alternatively, using the results of the next paragraph, it is a simple observation to verify that the derivatives are bounded.

2.2 Conservation of Players

Theorem 2.2.1. Given a game X with strategies S, the number of players remains constant in time; that is, for the associated system, ∑_s∈S s(t) is constant.

Proof.

∂_t ∑ s_i = ∑ ∂s_i
= ∑_rows (As ⊙ s)_i
= s^TAs = 0,

where the last equality follows because A is skew-symmetric.

This agrees with our intuition, since we are modeling the change of strategy by a fixed number of players.

In the next paragraph we will prove that if one starts with a positive number of players for every strategy, no strategy will ever reach a negative number of players.

From this, remembering that the standard n-simplex is defined as the convex combination of the vectors of the canonical basis in Rⁿ, and represents the region of positive coordinates summing to 1, we obtain:

Observation 2.2.1. The state of a system associated with a game with n strategies in configuration space remains inside the standard n-simplex.

Observation 2.2.2. The coordinates in phase space can be interpreted as barycentric coordinates, so that the motion in the standard simplex can be seen inside a simplex described by the game.

Rescaling initial conditions so that their sum is different from 1, because of the homogeneity of the equations, also rescales the derivatives. Therefore analogous orbits appear, traveled at different speed on a larger simplex onto which they are projected (?).

2.3 Subgames at the Boundary

Definition 2.3.1. Given a game X, a subgame is a game obtained by deleting from X some strategies, and the arrows entering and leaving them.

Suppose we have initial conditions in which there are strategies adopted by no player. Intuition would tell us that no player will ever convert to such strategies, since no one can lose against them, nor can they give players to others; therefore the presence of non-adopted strategies is entirely irrelevant to the movement of players, and so one can pass to the subgame in which they are wholly absent.

In our formalism, this idea corresponds to the following result.

Theorem 2.3.1. Given a system associated with a game with standard initial conditions, if s_i = 0, then s_i(t) = 0 for every t. Moreover, the other strategies evolve as in the subgame in which strategy s_i is absent.

Proof. If s_i = 0, because of the componentwise product ⊙s, also ∂_ts_i = 0, and therefore s_i(t) = 0 for every t. Consequently, the i-th summand of every component of Ps, representing the contribution of s_i to s′, will be zero for every t. Ignoring the row and the zero summands, one obtains the system associated with the subgame with s_i removed.

Observation 2.3.1. If multiple initial conditions are zero, one passes to the subgame in which all the corresponding strategies have been removed.

Observation 2.3.2. The portion of the standard simplex where some coordinates are imposed to be zero is the subsimplex given by the convex combination of the canonical vectors associated with the nonzero coordinates. Therefore the system associated with a subgame describes the motion in the corresponding subsimplex generated by the nonzero strategies.

Observation 2.3.3. The evolution of the system is tied only to how it evolves on the one-dimensional edges of the standard simplex, since each of them corresponds to the weight of the arrows in a pair of strategies; knowing the weights for every pair reconstructs the whole game. We will later prove that different weights between two strategies give rise to different behavior on the corresponding edge.

Observation 2.3.4. The system of a game with a single strategy has constant solutions. Therefore, subgames with a single strategy identify stationary points of the system associated with a game, namely the axes in configuration space. With standard initial conditions, this tells us that the vertices of the standard simplex are stationary points of the system.

We finally prove the following.

Theorem 2.3.2. The number of players per strategy in a system associated with a game with standard initial conditions remains positive for every t > 0.

Proof. A positive component of the solution, in order to become negative, must be zero for some t. If it became zero, the system would begin to behave like a subgame in which only the number of players of the other strategies varies: indeed, one would have s′_i = 0, and so it would remain 0. One iterates the reasoning by descending to subcomplexes of lower and lower dimension, that is, by annihilating more and more components of the solution, until all but one are zero. But in that case we would be at a vertex, which is a stationary point.

We can actually improve the result by proving that, starting from the interior of a simplex, the boundaries are never reached. We verify the following.

Lemma 2.3.1. Reversing time in a solution of the system associated with a game X gives a solution of the system associated with the game obtained by reversing all arrows of X.

Proof. Reversing time is equivalent to changing the sign of the derivatives, which is equivalent to changing the sign of the associated skew-symmetric matrix, or equivalently to transposing it; hence it is equivalent to reversing the arrows of the game.

It follows that, given a system with standard initial conditions, every subsimplex is invariant both forward and backward in time. As a consequence, the motion in configuration space with standard initial conditions never reaches the boundaries of the standard subsimplex in which it starts.

2.4 Nontrivial Stationary Points

We are interested in finding stationary points with positive coordinates summing to 1, since these are possible standard initial conditions of the system. We ask in general who the stationary points of the system s′ = Ps ⊙ s are.

Definition 2.4.1. We call trivial the stationary points of the system associated with a game that have at least one zero coordinate.

Consider a configuration s with all entries nonzero, that is, with s lying in the interior of the standard simplex. It will be a stationary point of the system only if it is one for the linear system s′ = Ps: indeed, componentwise multiplication by nonzero numbers cannot otherwise annihilate any nonzero entry. Therefore, an element with positive entries in the kernel of the matrix associated with a game corresponds to a nontrivial stationary point.

Considering instead s with at least one zero entry, the problem reduces to looking for the stationary points of the corresponding subgame.

2.5 Mirror Games

One might ask how a system behaves with initial conditions that are not all positive. The following helps us.

Observation 2.5.1. Changing the sign of the number of players adopting a strategy, thus allowing negative values, is equivalent to changing the sign of the entries in the corresponding row and column of the skew-symmetric matrix of the system; this is equivalent to reversing all arrows entering and leaving that strategy while keeping positive the number of players adopting it.

Consequently, the evolution of the system with not-all-positive initial conditions is analogous to the evolution of the system associated with another game obtained by reversing the appropriate arrows, with nonnegative initial conditions.

The observation suggests an action of (Z/2)^n on the set of games with n ordered strategies, where the i-th canonical generator reverses all arrows leaving or entering the i-th strategy.

Definition 2.5.1. We call mirror games the games belonging to the same orbit of this action.

An orbit of this action contains at most 2^n - 1 different games, since two elements that differ by (1,1,...,1) act in the same way.

For this reason, finding an element of the kernel of a skew-symmetric matrix with nonzero entries means finding a nontrivial stationary point in a mirror game of the one to which the matrix is associated.

As a consequence of the observations made, the behavior of a global system is determined by its behavior, and by the behavior of systems of mirror games, in standard conditions.

3. Small Games

3.1 Conversion

The simplest nontrivial game is composed of two strategies, one of which wins against the other with probability 0.5 < p < 1.

For this game, calling α = 2p - 1 > 0, the associated system is

x′ = αxy
y′ = -αxy.

Using y = 1 - x, one obtains x′(t) = αx(1 - x), whose solution is a logistic curve:

x(t) = 1 / (1 + (1/x₀ - 1)e^-αt).

The case x(0) = 0 must be treated separately; one obtains x(t) = 0. The function y is found as 1 - x.

The growth of x satisfies the intuition coming from the probabilistic interpretation: it is slow for small x, since this means that few players of y are challenged and converted; it is maximal when there are as many players of x as of y, so that the probability of an encounter between the two strategies is maximal; and it becomes small again when players of y begin to be scarce.

The only stationary points are therefore the vertices of the standard simplex, corresponding to subgames with a single strategy. One is asymptotically stable, the other is unstable.

3.2 Rock-Paper-Scissors

Rock-paper-scissors is the game with three strategies that defeat each other cyclically.

The associated differential system is

[x′, y′, z′]^T
= [[0, 1, -1], [-1, 0, 1], [1, -1, 0]] · [x, y, z]^T ⊙ [x, y, z]^T.

This admits a stationary point internal to the standard simplex, namely (1/3, 1/3, 1/3), which belongs to the kernel of the skew-symmetric matrix. This corresponds to the configuration in which each strategy has the same number of players; from the symmetry of the arrows it is intuitive that one cannot move in any particular direction. The subsimplices correspond to conversions, whose stationary points are the vertices of the standard simplex, which are unstable for the overall system.

We now see how some symmetries can be exploited to prove that the orbits internal to the standard simplex are closed. We use the fact that the behavior of the system behaves well (?) with respect to cyclic permutations of the strategies, and that under time reversal one still has rock-paper-scissors, with the victory relations reversed. Put the system in standard conditions with y > x = z and y ≠ 1, from which x′ > 0, y′ < 0, z′ < 0. The state of the system evolves until y = x in finite time; indeed x′ = x(y - z), but x grows, and y - z cannot fall below the initial value of x - z without having x = y. The same trajectory repeats by cyclically permuting the coordinates, that is, rotating the simplex by one third of a turn.

We now ask what happens with the same starting conditions but with time reversed: the system behaves as if the arrows were reversed, that is, as in a rock-paper-scissors game with x and z exchanged; therefore the same behavior appears, and this lets one conclude that the orbits are closed. The stationary point at the center is therefore stable, but not asymptotically stable.

As a variant of rock-paper-scissors, one can assign to the arrows a probability of victory 0.5 < p_i < 1. The skew-symmetric matrix associated with the system is of the type

[[0, a, -b], [-a, 0, c], [b, -c, 0]],

with a,b,c > 0 under the given hypotheses on p_i. These games admit the nontrivial stationary point

(1 / √(a² + b² + c²)) · [c, b, a]^T.

Numerical tests still suggest closed orbits (?).

3.3 Chain of Two Conversions

A chain of two conversions is the game represented in the original draft. Writing y as 1 - x - z, the associated system becomes

x′ = a x(1 - x - z)
z′ = -b z(1 - x - z).

We can find the trajectories as

dz/dx = -(b/a)(z/x).

Separating variables, one easily obtains the first integral E = (b/a)log x + log z, assuming x ≠ 0 and z ≠ 0; from this it follows that the function x^b/a · z also remains constant.

This suggests that it is impossible for all players to tend to move toward x, but that one converges to a state in which y = 0 and x^b/a · z = 1, depending on the initial conditions. (?)

4. Category of Games

We want to construct a suitable category of games, and investigate the existence and properties of products and coproducts. In order to find a suitable definition for morphisms, it is useful to ask what a quotient of a game should be.

4.1 Quotients

Imagine having a game with strategies S, and a subset V ⊆ S of strategies with the property that, as v ∈ V varies, p_sv remains invariant for every s ∈ S \ V. Intuitively, this means that from the point of view of the players of a strategy s ∈ S \ V, the strategies in V are indistinguishable, and for the evolution of S it does not matter how the players are distributed inside the strategies in V, but only how many there are in total. This suggests the possibility of simplifying the game in order to study more easily the evolution of the strategies in S \ V, by treating the set V as a single strategy. We call this operation quotient. With the general idea that the right maps between objects are those whose images are quotients, we give the following.

Definition 4.1.1. A map between two games X and Y is a function between their sets of strategies

f : S_X -> S_Y

such that, for every {x_1,...,x_k} = f^-1(y) with y ∈ S_Y, one has

p_xx1 = p_xx2 = ... = p_xxk = p_f(x)y

for every x ∈ S_X \ f^-1{y}. If f is surjective, we call it a quotient map and say that Y is a quotient of X.

From the point of view of the system, calling Q = {x_1,...,x_k} means that in all rows associated with the derivative of a strategy not in Q, one can factor out the coefficient common to {x_1,...,x_k}, and delete the rows of the strategies in Q by replacing them with the one associated with the derivative of x_1 + x_2 + ... + x_k, obtaining the system of the quotient game. (?)

Let us see an example of applying quotients.

Example 4.1.1. Rigged rock-paper-scissors. Call the game represented in the original draft rigged rock-paper-scissors. The associated system is complicated at first sight, but we can simplify it by quotienting the strategies x and y into a single strategy x + y.

This is simply a conversion, which we have already solved. Therefore, although it is difficult to understand how x, y, and z evolve, we can simply study how y and x + z evolve.

Definition 4.1.2. We call GAME the category whose objects are games, and whose morphisms are maps of games.

Observation 4.1.1. Games composed of a single strategy are isomorphic, and constitute the final object of the category. The initial object would want to be the empty game, but it is sensible to ask that there be at least one strategy.

4.2 Coproducts

It turns out that coproducts always exist, and are trivially the disjoint unions of games. Let us therefore see how games with disconnected components behave.

Let X be a disconnected game. Enumerate the strategies so that the strategies of each connected component are placed next to each other. The matrix associated with the game, like its adjacency matrix, is block diagonal, one block for each component. Consequently, in the associated system the equations split apart, and one obtains systems independent of one another, one for each component.

This represents the fact that players of strategies in different connected components do not exchange players, and therefore one can think about the problem by separating it for each connected component. The possibility of drawing between players of strategies in different connected components, however, slows the evolution of players inside a component. This effect is tied to the fact that the players of a subcomponent may not sum to 1, and we have already observed that this translates into slower traversal of orbits analogous to those that would occur if they did sum to 1.

Observation 4.2.1. A connected component can always be quotiented. It is evident (?) that a point is stationary only if it is stationary when restricted to a given connected component, and that the converse also holds; from this it follows (?) that the stationary points are the convex combinations of the stationary points of disconnected components.

It is simple to see that the disjoint union of games satisfies the universal property of the coproduct. (?)

4.3 Products

To construct the product of games, we will try to invert the quotient. While quotienting collapses several strategies to one, we want an operation that replaces a strategy with an entire game, and adds the missing arrows. We will call this operation explosion product. This may fail to be commutative, but in the case in which it is, it will coincide with the product (?).

Definition 4.3.1. Given games X and Y, define the explosion of X on Y, denoted X ⋉ Y, as the game obtained by the following procedure: let S be the set of strategies of Y; consider a copy of X for every strategy of Y, and connect each strategy of copy i with an outgoing edge of weight p_ij to each strategy of copy j, for every i,j ∈ S.

More formally, we are obtaining a game whose strategies are pairs (x,y), x ∈ S_X, y ∈ S_Y, with

p_{(x1,y0)(x2,y0)} = p_x1x2,
p_{(x1,y1)(x2,y2)} = p_{(x0,y1)(x0,y2)} = p_y1y2.

We can similarly (?) define the explosion of X only on a restricted set of strategies of Y, including a single one. Explosion on a single strategy inverts the quotient operation. (?).

We say that the explosion of X on Y commutes if it is isomorphic to the explosion of Y on X.

Note 4.3.1. For convenience, we may represent the explosion X ⋉ Y by drawing a single arrow between the copies of X.

Observe that quotienting by each copy of X gives Y.

An important case in which explosion is commutative is when the two games being multiplied coincide, that is, in the case of squares.

A stationary point of X ⋉ Y must first be a stationary point of the quotient Y, and in addition must be stationary when restricted to each copy of X. In this way there are no flows of players either among different copies of X or inside the copies, so the condition is also sufficient. To obtain a nontrivial stationary point in an explosion, therefore, one first distributes the players among the copies of X so as to have no flows among them while giving players to each, and then distributes these inside each copy so that they constitute a nontrivial stationary point for it.

In the cases in which the explosion X ⋉ Y is commutative, one would have X and Y as quotients, and plausibly the explosion is the product (?).

5. To-Do List

Investigate whether games with arrows of weight 1 behave like games with the same oriented arrows but smaller probabilities, and what happens when the weights are changed continuously.
Investigate elements of the kernel of skew-symmetric matrices with entries different from 0; discuss spectral theory and the Pfaffian.
Investigate combinatorial questions such as how many classes of mirror games exist.
Look for useful information in the literature on generalized Lotka-Volterra equations.
Improve the chapter on the category of categories, and look for a link with homotopy theory.
Look for conserved quantities or Lagrangians and prove the presence of closed orbits in some games.
Investigate the relation between the behavior of the system on the boundary of a simplex and inside the simplex.
Linearize the system of some games in order to study stationary points.
Investigate the relation between the orbits of a system and of its associated linear system.
Investigate the relation with Markov chains.
Study further small games, looking for further analytic solutions, or introducing numerical analysis.
Prove how compositions of arrows are tied to higher derivatives, and give a probabilistic interpretation.
See the continuous case as a probabilistic limit of the discrete case.
Find real situations well modeled by the theory.
Structure the article well, add references.
Solve or explain better the questions accompanied by (?).

Indice

1. Introduzione

1.1 Motivazione

1.2 Passaggio al continuo

1.3 Formalizzazione

2. Caratteristiche generali

2.1 Esistenza globale e unicità della soluzione

2.2 Conservazione dei giocatori

2.3 Sottogiochi ai bordi

2.4 Punti stazionari non banali

2.5 Giochi speculari

3. Giochi piccoli

3.1 Conversione

3.2 Morra cinese

3.3 Catena di due conversioni

4. Categoria dei Giochi

4.1 Quozienti

4.2 Coprodotti

4.3 Prodotti

5. Lista delle Cose da Fare

Contents

1. Introduction

1.1 Motivation

1.2 Passage to the Continuous Model

1.3 Formalization

2. General Characteristics

2.1 Global Existence and Uniqueness of the Solution

2.2 Conservation of Players

2.3 Subgames at the Boundary

2.4 Nontrivial Stationary Points

2.5 Mirror Games

3. Small Games

3.1 Conversion

3.2 Rock-Paper-Scissors

3.3 Chain of Two Conversions

4. Category of Games

4.1 Quotients

4.2 Coproducts

4.3 Products

5. To-Do List